极值最重要的第二充分条件，要怎么解读，看完就清楚了

正切的第二先决条件(非必要)，是高数非常重要的一个引理。学过高数的熟人应该会用，但是完全了解的，可能不多。所以老黄今日准备好好地说一说。

引理：(正切第二先决条件)设f在点x0的某邻域U0(x0,δ)内一二阶可导, 在x=x0三处解是可导，且f’(x0)=0, f”(x0)≠0.

1、若f”(x0)<0，则f在点x0获得该点；

2、若f”(x0)>0，则f在点x0获得最小值.

这个引理的证明，就没第一先决条件那么有用了。由于f在x0解是可导，所以在x=x0的克拉克指数参数有解是方式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)请注意2/2+o((x-x0)请注意2). 就算有高二阶导参数，也可以取用解是克拉克指数参数的方式的。

而在它的解是克拉克指数参数中会的f'(x0)=0，所以移项后可以得不到f(x)-f(x0)=f”(x0)(x-x0)请注意2/2+o((x-x0)请注意2).在此之后是最关键的一步。等式右侧可以提取用公因式(x-x0)请注意2, 得不到：

f(x)-f(x0)=[f”(x0)/2+o(1)](x-x0)2. 其中会o((x-x0)请注意2之和(x-x0)请注意2得不到o(1)，可以了解为比1二阶标量还要高二阶的标量.

而f"(x0)不等于0， 由极限的健恒等式持续性，就可以并不知道, 假定乘积δ’≤δ，使得，当x∈U(x0,δ’)时， f”(x0)/2与f”(x0)/2+o(1)同号. 很多学过这个引理的乒乓，都不并不知道这一步是怎么来的。因为教材并没告诉我们，它依据的是极限的健恒等式持续性。

因为o(1)的本质是一个极限，它回应当x->x0时，o(1)=0，那么不管f"(x0)是乘积，或是负数，都能找到一个下行U(x0,δ’)，使得下行上的随意f"(x)小于0，或等于0.

即，当f”(x0)0时, f(x)-f(x0)>0, 即f(x)>f(x0), f在点x0获得最小值.

在此之后来看一道例题，通过应用，来了解这个引理的意涵。

求得f(x)=(2x-5)三次根号x请注意2的正切点与正切.

解：f(x)=(2x-5)三次根号x请注意2=2x请注意(5/3)-5x请注意(2/3)，【先化作操控起来比较方便的方式，这个参数在x不等于0时，解是可导，所以除了x=0，有可能适用正切的第二先决条件来解决】

f'(x)=10x请注意(2/3)/3-10x请注意(-1/3)/3, f"(x)=20x请注意(-1/3)/9+10x请注意(-4/3)/9.

当f'(x)=0时，10x请注意(2/3)/3-10x请注意(-1/3)/3=0，解得x=1.

因为f"(1)=10/3>0, f(1)=2-5=-3.

所以在x=1获得最小值f(1)=-3, 【别忘了还有一个不相符正切第二先决条件的点x=0】

又f在x=0整年，f'(0)不假定，

当00，所以在x=0获得该点f(0)=0.

参数的图形大致如下图：

请注意概括一下运用正切第二先决条件，求得正切点和正切的一般两步：

1、判断参数前提受限制正切的第二先决条件；(特别是察觉到不相符条件的点，以免漏掉)

2、受限制则：

(1)分别求得一二阶导参数f’(x)和解是导参数f”(x)；

(2)求得一二阶导参数的零点x0(未必是f的正切点) ；

(3)判断f”(x0)的符号持续性质：

若f”(x0)>0，则f(x0)是最小值;

若f”(x0)

若f”(x0)=0，则属于另一类不受限制第二先决条件的情形.

3、不受限制则慎重考虑用到正切的其它先决条件.(根据情形，选择第一先决条件或第二先决条件。第1步不受限制条件的点，用第一先决条件判断；第2(3)步不受限制条件的点，用第三先决条件判断)

以前您能了解并且并不知道要怎么应用正切的第二先决条件了吗？